因式分解与整式乘法是互逆的运算，是学好代数的基础之一，希望同学给以足够的重视。因式分解的每一步都必须是恒等变形，必须进行到每一个多项式因式都不能再分解为止。常见的方法有:①提取公因式法;②公式法;③提公因式法与公式法的综合运用。在对一个多项式因式分解时，首先应考虑提取公因式法，然后考虑公式法，对于某些多项式，如果从整体上不能利用上述方法因式分解，还要考虑对其进行分组、拆项、换元等。下面通过例题一一介绍。
一.提取公因式法
(一)公因式是单项式的因式分解
1.分解因式
确定公因式的方法
①系数:取各项系数的最大公因数;②字母(或多项式):取各项都含有的字母(或多项式);③指数:取相同字母(或多项式)的最低次幂.
注意:公因式可以是单独的一个数或字母，也可以是多项式，当第一项是负数时可先提负号，当公因式与多项式某一项相同时，提公因式后剩余项是1，不要漏项.解:原式=一4m²n(m²一4m+7).
(二)公因式是多项式的因式分解
2.因式分解
15b(2a一b)²+25(b一2a)²
解:原式=15b(2a一b)²+25(2a一b)²=5(2a一b)²(3b+5)
二.公式法
(一)直接用公式法
3.分解因式
(1).(x²+y²)²一4x²y²
(2).(x²十6x)²+18(x²+6x)十81
解:(1)原式=(x²+y²+2xy)(x²+y²一2xy)=(x十y)²(x一y)²
(2)原式=(x²十6x+9)²=[(x+3)²]²=
(二)先提再套法
4.分解因式
(三)先局部再整法
5.分解因式
9x²一16一(x十3)(3x+4)
解:原式=(3x十4)(3x一4)一(x十3)(3x十4)=(3x+4)[(3x一4)一(x+3)]=(3x十4)(2x一7)
(四)先展开再分解法
6.分解因式
4x(y一x)一y²
解:原式=4xy一4x²一y²=一(4x²一4xy+y²)=一(2x一y)²
三.分组分解法
7.分解因式
x²一2xy+y²一9
解:原式=(x一y)²一9=(x一y十3)(x一y一3)
四.拆、添项法
8.分解因式
五.整体法
(一)\"提\"整体
9.分解因式
a(x+y一z)一b(z一x一y)一c(x一z+y)
解:原式=a(x十y一z)十b(x十y一z)一c(x十y一z)=(x十y一z)(a+b一c)
(二)\"当\"整体
10.分解因式
(x+y)²一4(x+y一1)
解:原式=(x+y)²一4(x+y)+4=(x十y一2)²
(三)\"拆\"整体
11.分解因式
ab(c²+d²)+cd(a²+b²)
解:原式=abc²+abd²+cda²+cdb²=(abc²+cda²)+(abd²+cdb²)=ac(bc十ad)+bd(ad+bc)=(bc十ad)(ac+bd)
(四)\"凑\"整体
12.分解因式
x²一y²一4x+6y一5
解:原式=(x²一4x十4)一(y²一6y+9)=(x一2)²+(y一3)²=[(x一2)十(y一3)][(x一2)一(y一3)]=(x+y一5)(x一y十1)
六.换元法
13.分解因式
(a²十2a一2)(a²+2a+4)+9
解:设a²+2a=m，则原式=(m一2)(m+4)十9=m²十4m一2m一8+9=m²+2m十1=(m+1)²=(a²+2a十1)²=
七.十字相乘法
公式:x²十(a十b)x十ab=(x+a)(x十b)或
对于一个三项式若能象上边一样中间左侧上下相乘得x²，中间右侧上下相乘得ab，中间上下斜对角相乘之和为(a+b)x，则能进行分解，如:
14.x²一5x一14
解:原式=(x一7)(x十2)
十字相乘法分解因式非常重，在以后有关代数式的运算，解方程等知识中常常用到.
八.待定系数法
15.分解因式
x²+3xy+2y²十4x+5y+3
解:因为x²+3xy+2y²=(x+y)(x+2y)
设原式=(x+y+m)(x+2y十n)=x²十3xy+2y²十(m+n)x+(2m+n)y+mn.
∴m=1，n=3
∴原式=(x+y+1)(x+2y+3)
【总结】因式分解的知识在代数中有着重要的地位，同学们要多加强这方面的练习，为以后的学习奠定扎实的基础。
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